פלורליזם

טקסט

אצל אריסטו קאנט, הלוגיקה היא תורת השיפוט, ובפרט - מדע השיפוט האובייקטיבי. אותו שיפוט, כמובן, מנסה לשפוט מה שאמיתי. פרגה המאוחר מגדיר את הלוגיקה כמדע האמת. עבורו, הלוגיקה היא מדע תיאורי, המתארת את העולם כאוסף של אמיתות.

במאה ה20, המשוואה מתהפכת. האמת אינה הפואנטה, אלא הטיעונים - יחס הנביעה (Consequence). קרי, לוגיקה היא המדע של הנבעת מסקנות מההנחות.

ביל ורסטל טוענים בעד פלורליזם לוגי - הטענה שישנן לוגיקות מרובות שניתן להשתמש בהן להנבעת מסקנות - אלא שבעוד פלורליזם לוגי נוטה לסווג אותן לפי תחומים (למשל, לוגיקה של מחשבים למדעי המחשב, לוגיקה אינטואיציוניסטית בהקשרים אפיסטמיים...), ביל ורסטל טוענים שהלוגיקות השונות פועלות במקביל, משום שלכל משפט בשפה יש תחום כסות והיבטים שונים.

The concept of logical consequence is one of those whose introduction into the field of strict formal investigation was not a matter of arbitrary decision on the part of this or that investigator; in defining this concept, efforts were made to adhere to the common usage of the language of everyday life. But these efforts have been confronted with the difficulties which usually present themselves in such cases. With respect to the clarity of its content the common concept of consequence is in no way superior to other concepts of everyday language. Its extension is not sharply bounded and its usage fluctuates. Any attempt to bring into harmony all possible vague, sometimes contradictory, tendencies which are connected with the use of this concept, is certainly doomed to failure. We must reconcile ourselves from the start to the fact that every precise definition of this concept will show arbitrary features to a greater or less degree.

Tarski, On the Concept of Logical Consequence, 127, page 409

יחס הנביעה הלוגית בשפה טבעית, כותב טרסקי במאמרו המפורסם, תמיד לוקה בחסר ולעולם לא יתפוס את כל הדקויות של השפה הטבעית; מעצם זה שאנחנו מפשיטים, משהו תמיד הולך לאיבוד. זהו המניע הבסיסי לפלורליזם לוגי - ללכוד בכל פעם מאפיינים מעט שונים מיחס הנביעה, משום שאיננו יכולים לתפוס אותו במלואו.

היחידה הכי בסיסית היא משפטים ($All\ Greeks\ are\ mortal \to Socrates\ was\ Greek \therefore Socrates\ was\ mortal$). משפטים, אולם, לוקים לעיתים בחוסר ודאות ("Tired children and parents can be stressed" - מי לחוצים? הילדים? הורים? שניהם?). המניע מאחורי הלוגיקה היא להצרין את כל הצרות האלה החוצה - בפרשנות, או בשיפוטים.

פרגה סבור שאנו חייבים להבחין בין התוכן של הטענה לבין האקט של השיפוט. ניקח טיעון בסגנון מודוס פוננס -

$$

\begin{align}

If you are a frog, you are green \to \ You are a frog\ \ \therefore You are green \end{align}

$$

בהנחה הראשונה (אם אתה צפרדע, אתה ירוק) לא מכילה שיפוט; היא רק אומרת שאם היית צפרדע, היית ירוק. היא תואמת בתוכן להנחה השנייה (אתה צפרדע), שרק בה מתבצע שיפוט של ממש (אתה צפרדע!). כוח הטענה - קרי, השיפוט - שונה מתוכן הטענה. לפי פרגה, הסקת מסקנות דורשת שיפוט¹.

אנחנו למדנו כי טיעון הוא תקף אם לא יכול להיות שכל ההנחות אמיתיות והמסקנה שקרית - קרי, אין מודל כזה (שורה בטבלת האמת, מודל קריפקה, עולם אפשרי וכו'). אולם יש בהגדרה הזו פתח לפרדוקסים - כמו פרדוקס ההקדמה.

דוגמה - פרדוקס ההקדמה

אתה כותב ספר. הספר מלא בטענות. אתה עשית את שיעורי הבית שלך, ויש לך את כל הסיבות להאמין שמה שכתבת בספר נכון - חקרת, התאמצת, השקעת. אתה עומד מאחורי הטענות שלך.

אולם, אתה יודע שאתה אנושי - וכנראה טעית איפושהו; בכל הספרים שנתקלת בהם הייתה טעות כזו או אחרת. אתה חושב שגם בטיעונים שלך יש טעויות, איפושהו.

קרי, אתה טוען במקביל שאתה עומד מאחורי כל הטענות שלך, וגם שאתה לא עומד מאחורי כל הטענות שלך - והכל ממקומות הגיוניים לגמרי: הגיוני שאם כתבת ספר אתה חושב שהוא נכון, אבל גם הגיוני להניח שיש לך שם טעויות איפושהו. לא רק שיש סתירה - האמונה בה רציונלית.

העניין הזה הוביל לוגיקאים רבים לחשוב שיש בעיה בקשר בין ההנחה למסקנות. ביל ורסטל, בגישה אוסטרלית כזו, חושבים שזה נותן פתח ללוגיקות נוספות - אין לה תוקף נורמטיבי מוחלט.

צורניות (פורמליות)¶

לוגיקה היא צורנית - פורמלית: היא עוסקת אך ורק בצורה ולא בתוכן. קרי:

$$p, p \to q \therefore q$$ יהיה נכון **בלי שום קשר לתוכן של $p$ או $q$.

כמה דוגמאות מביל ורסטל:

A1 some F are G, all G are H; therefore some F are H.
A2 p, if p then q; therefore q.
A3 x is red, if x is red then x is coloured; so x is coloured.
A4 x knows that p; therefore p.
A5 x is more F than y is, y is F; therefore x is F.
A6 x is larger than y, y is larger than z; so x is larger than z.
A7 x is red; therefore x is coloured.
A8 x is water; therefore x is H2O.
A9 x is a baby; therefore x cries

כל המשפטים האלו סכמטיים, תבניתיים. אבל לא כולם נכונים או תקפים לוגית. משפט 8 למשל הוא בהכרח נכון, אבל הוא לא תקף לוגית, כמו גם משפט 6.

Macfarlane מציב 3 עקרונות בכדי לומר שמערכת לוגית היא צורנית:

נורמטיביות - הלוגיקה מציבה לנו נורמות כיצד לחשוב (לא נורמטיביות מנחה - "כך ראוי לחשוב" - אלא מכוננת - מי שלא מציית להם, לא חושב).
הפשטה מתוכן.
הפשטה מזהות.

לרוב מוסיפים, - אין תרחיש שבו ההנחות אמיתיות והמסקנה שקרית.

פלורליזם גלובלי ותוך-תיאורטי¶

מושג הנביעה, מקוננים ביל ורסטל, עמום. כמו בכל מדע, מתחילים ברעיון עמום והולכים ומחדדים אותו. במקרים מסוימים, מדביקים להם הגדרה מדויקת שתופסת את כל מה שרוצים לתפוס, ודהיינו. במקרים אחרים, קשה לתפוס את הכל.

למשל, מושגי האפשרות וההכרח. הכרח יכול להיות מצב המתקיים בכל עולם אפשרי (ומה זה אומר? זה ישנה את המושג), הכרח אפיסטמי, מתמטי, דאונטי, וכו' - כל אחד לוכד היבט אחר (מצב עניינים, מצב ידיעתי, הכרח מוסרי, וכו').

מאמר

Hjortland (2013)

המטרה, מדגיש היורטלנד, היא פלורליזם בלי שינוי משמעות. כפי שאומר קווין -

Change of logic is change of subject

נהוג לחשוב שכשלוגיקה אחרת מבצעת שלילה, ולוגיקה אחרת מבצעת שלילה, לא הוא רק שיתוף השם; הן עושות שתי דברים שונים. אם אני מעוניין לתרגם כל אחת מאותן הלוגיקות, עליי להבין את אותם המונחים כבעלי משמעות שונה.

דוגמה

בלוגיקה קלאסית - $\neg A$ משמעו $A$ אינו המצב; די לשלול את A בכדי לומר שלא A.

בלוגיקה אינטואיציוניסטית $\neg A$ משמעו $A$ מוביל לאבסורד - לא רק A אינו המצב (ואז אנחנו ב"לא יודע"), אלא A אינו יכול להיות המצב.

קווין מתמרד נגד זה. מושג כה בסיסי, כמו שלילה, חייב להיות במובן אחד בלבד. אסור להתפשר על המובנים. הויכוח כולו הוא מילולי גרידא (קרי, מוניזם לוגי).

היורטלנד מנסה בכל זאת לכונן פלורליזם בלי שינוי מובן - שלילה היא אותה שלילה, אבל הנביעה משתנה. החשיבה על לוגיקה היא אינסטרומנטלית³ - לוגיקה היא כלי, ולוגיקות שונות ראויות ליישום במקרים שונים² - פלורליזם של הקשר (קונטקסטואלי) שכזה, ממשפחת הרלטוויזם.

אולם, היינו רוצים לחשוב שלוגיקה היא דבר יותר כולל - שיש את ה-לוגיקה, שלוגיקה אינה טרודה בנושא כזה או אחר. איך זה מתיישב?

כאן נכנס פלורליזם גלובלי - לוגיקות שונות שמתיימרות להתאים לכל תחום. קרי, ישנן לפחות שתי לוגיקות לכל תכלית שהן צודקות ותקפות באותה המידה.

סוזן האק כותבת -

[W]hile the [logical] monist takes it that the classical and the deviant logician disagree about the validity/logical truth in the same sense, of one and the same argument/statement, the global pluralist denies either that the classical and deviant logician are really using ‘valid’/’ logically true’ in the same sense, or else that they are really disagreeing about one and the same argument/ statement . . . Roughly, the thought in the second version of global pluralism is this: typographically identical wffs/arguments in classical and deviant logics don’t have the same meaning, and hence can’t both represent the very same informal statements/arguments. One argument for this view is that the meaning of the logical constants depends wholly upon the axioms/rules of the system in which they occur.

Haack, 1978

עבור קארנפ, הלוגיקה היא מסגרת לשונית, שאנו ממלאים אחר כך באמפריציזם. כמו שניתן לעשות מדע בעברית, אנגלית או קירגיזית, לוגיקות שונות הן מסגרות שונות לחשיבה ולעשיית מדע, שניתן לתרגם בין האחת לשנייה - זה לא באמת משנה; העיקר הוא נתוני החושים שאנחנו מסדרים בתוך אותן הלוגיקות, והבחירה היא פרגמטית גרידא (למשל, אני קירגיזי).

עבור ביל ורסטל, נביעה לוגית היא קדם-תיאורטית, עמומה, ראשונית, שניתן לחדד ביותר מאופן אחד, וכל האופנים האלו תקפים בהינתן שהם עומדים בקריטריונים שתיארנו לעיל (הכרח, צורניות, נורמטיביות). אם זה המצב, אומר היורטלנד, אולי הם אפילו לא מחויבים לשינוי מובן של מה תקף.

דוגמה

למשל, מונחים כמו אני ועכשיו - כולנו מבינים בהן את אותו המובן; אבל, המשמעות תלויה בהקשר (אם אני אומר אני - המשמעות היא מתן; אם סוקראטס אומר אני, המשמעות היא סוקראטס).

כלומר, ביל ורסטל מסכימים עם השאר לגבי מה תקף, וחלוקים רק על היישום - קרי, אנחנו מסכימים על, למשל, מהי שלילה, אבל לא על הקריטריונים של מתי זו שלילה.

אבל מה זה המובן בכלל? מובן נקרא בעיקר באמצעות תנאי אמת. איך נדע אם דובר שפה מבין את המשפט העץ הוא ירוק? אם כשהוא אומר העץ הוא ירוק העץ באמת ירוק (אם זה עץ כתום, הוא כנראה לא מבין מה זה ירוק). אם אנחנו יודעים את תנאי האמת של הביטויים - מתי העץ ירוק ומתי לא - אנחנו מבינים את המובן שלהם⁴. חלקי משפט חשובים רק בתרומתם לקביעת ערך האמת שלו כולו. באופן דומה, קשרים לוגיים חשובים רק בתרומתם לקבוע תנאי אמת.

קרי - שינוי תנאי אמת הוא שינוי מובן, נקודה - והתדרדרנו חזרה לשינוי משמעויות.

היורטלנד מציע פלורליזם תוך-תיאורטי, בתוך אותה תיאוריה לוגית. אם ישנו פלורליזם כזה, נוכל לטעון בצדק שאין בו שינוי מובן (דוגמה: כשאיינשטיין מדבר על משקל וכשניוטון מדבר על משקל, הם לא מדברים על אותו המשקל; אבל אם נתעסק רק באחת מהתיאוריות, אנחנו כן נדבר על אותו המשקל). תנאי האמת יהיו אותם תנאי האמת; מערכת ההוכחה תהיה אותה מערכת ההוכחה; ועדיין נצליח לנסח מושגים שונים של תקפות בתוך אותה תיאוריה.

היורטלנד מדגים עם מערכת גנצן:

$Γ \to A, Δ \therefore Γ, \neg Α \to Δ$ ($L \neg$)

$Γ, A \to Δ \therefore Γ \to \neg Α, Δ$ ($R\neg$)

בשיטה הראשונה $L \neg$, אנחנו חופשיים להסיק שתי מסקנות מΓ, ובשנייה $R \neg$, רק מסקנה אחת. התוצאה - לפי אותם כללי ההיסק - היא שהלוגיקה הראשונה היא קלאסית והשנייה אינטואיציוניסטית. זוהי דוגמה לפי היורטלנד לפלורליזם תוך-תיאורטי: הגבלה מלאכותית של כללי ההיסק (ולא שינוי שלהם⁵) מובילה לנביעה שונה. שינוי בלוגיקה לא מוביל בהכרח לשינוי במשמעות.

בדוגמה נוספת, היורטלנד משווה את לוגיקת K3 ללוגיקה פאראקונסיסטית, שלשתיהן יש שלושה ערכי אמת.

אם ניקח את ההגדרה הקלאסית לתקפות -

טיעון תקף אם אין תרחיש בו ההנחות אמיתיות והמסקנה שקרית

איך זה עובד כאן? אם קיבלנו את הערך השלישי - הוא קרוב יותר לאמת? לשקר? הטיעון תקף או לא תקף? בלוגיקת K3, הערך השלישי הוא או אמת או שקר (קרי - לא הכרעתי עדיין - לפערים אפיסטמיים); בלוגיקה פאראקונסיסטית, הערך השלישי הוא גם אמת וגם שקר.

דוגמה

יש דבר כזה להיות זקן, ויש דבר כזה להיות צעיר. להגיד שמישהו הוא רק או צעיר או זקן קצת מפספס. נניח ומישהו בן 45 - הוא צעיר? זקן? גם צעיר וגם זקן? לא צעיר ולא זקן? כל לוגיקה תיתן תשובה אחרת. אין ויכוח על מה זה צעיר או זקן, אלא רק על תקפות - מתי אשפוט מישהו כצעיר או זקן.

אנחנו משחקים באותה המערכת הצורנית, ובאותם המובנים⁶ - אבל יש לי כאן שתי לוגיקות שונות עם שתי צורות חשיבה שונות, בהתאם להשקפתי הפילוסופית - שתי צורות הכרעה של ביטויים עמומים, בדיוק כפי שביל ורסטל ניסו לעשות.

לא עמדה פופולרית היום. ↩
זו חשיבה שמקורה במתמטיזציה של הלוגיקה במאה ה20, מוסיף רע. ↩
אבל אז איך בוחרים את הלוגיקה הנכונה? נדוש בזה בשבוע הבא. ↩
לכן פרגה מבין משפט כיחידה הבסיסית ביותר - חלק של משפט לא מספיק לקבוע את תנאי האמת שלו. ↩
האם צמצום הוא לא שינוי? כאן כמובן יש מחלוקת; רע חושב שדווקא כן. ↩
האמנם? אם אנחנו לא מסכימים על אמת, האם אין שינוי מובן? גם זה שנוי במחלקת; רע חושב שדווקא יש. ↩