לוגיקה אינטואיציוניסטית

לויצן אגברטוס יאן "ברטוס" בראוור (1881-1966) שאל את עצמו האם בפיתוח העשרוני של π יש מופע של 9 פעמים הספרה 9 (...1234999999999...). איך בודקים? נניח וכל פעם נפתח קצת את π ונבחון כל קטע סופי נתון. אם מצאנו - נפלא. ואם לא מצאנו? נוכל רק להגיד שעד עכשיו לא היה - לא נוכל להגיד שיש או שאין קטע כזה.

אנחנו יצורים סופיים, ויכולים לפתח רק חלק סופי. אבל האם יש בכלל פיתוח אינסופי כזה, שפשוט אנחנו לא מגיעים אליו? יכול להיות שאין דבר כזה - לא נוכל לדעת עד שפיתחנו הכל. אבל אם אנחנו לא יודעים שיש מקטע כזה, אולי אנחנו לא יכולים לטעון בכלל שיש או אין מקטע של תשע תשיעיות: אין על מה לטעון בכלל.

העמדה הזו היא קונסטרוקטיביזם -

הגדרה

קונסטרוקטיביזם היא התזה שאומרת שישים (אובייקטים) מתמטיים הם פרי הבניה שלנו, כך שכל מספר Αv~A (רציונליים או לא רציונליים)

בכל פעם שמפתחים את π, הπ המפותח עד הסוף הוא זה שפיתחנו - אין לי טענה שיש אחד אינסופי כלשהו; והיות ולעולם לא נפתח את π עד הסוף, אני לא יכול לטעון כלום לגבי קיום או אי קיום הקטע: הדבר שלגביו אני טוען עדיין מתהווה, ולעולם עדיין יתהווה.

טענה

יש שני מספרים לא-רציונליים a, b כך ש - \(a^b\) רציונלי

הוכחה:

נתבונן ב \(\sqrt{2} ^\sqrt{2}\). אם הוא רציונלי, סיימנו. אחרת נקבל:

\[ {(\sqrt{2}^\sqrt{2})}^\sqrt{2} = \sqrt{2} ^{(\sqrt{2} \times \sqrt{2})} = 2 \]

אבל כך יוצא שההוכחה עומדת, ואנחנו לא יודעים מהם המספרים! (מה זה שורש 2?)

משום שπ הוא הבנייה שלנו - ולא מספר שלם שמסתובב שם איפושהו בעולם - בראוור נמנע מלטעון את עקרון השלישי הנמנע -

עקרון השלישי הנמנע

\[A \lor \neg A\]

לכל A

אבל גם לא דוחים את העקרון - דחייתו סתירתית. כלומר, לא מכירים בו, ולא דוחים אותו.

ראו גם

הקטע הבא נשען על הפילוסופיה של קאנט. ראו גם:

קאנט (מבוא לפילוסופיה חדשה), קאנט - ביקורת התבונה הטהורה (קורס מתקדם).

בראוור נשען על מושג האינטואיציה הקנטיאני. התפיסה הרציונליסטית מחלקת את המושגים למושגים מאוד מורכבים - אלוהים ומספרים - ולנתוני חושים. קאנט רוצה לשבור את הטווח הזה, ומחלק אותו במקום לאינטואיציה ומושג.

מושג הוא תמיד כללי (כיסא, לא הכיסא הזה), ולפי קאנט היא תמיד מתווכחת - קרי, המושג הוא לא רק נתוני חושים, אלא גם ארגון שלהם לפי המושגיות.

האינטואיציה, מנגד, היא מידית, וללא תיווך - אלו הם החלל והזמן. הם לא מושגים - הם התנאים לכינון מושגים. המתמטיקה כולה נשענת על הזמן.

תלמידו של בראוואר, הייטינג, פיתח מהקושי הזה את מערכת הלוגיקה האינטנציוניסטית -

לוגיקה אינטואיציוניסטית פשוטה בהרבה - כללי ההיסק שלה מאוד פשוטים - אבל חזקה פחות מלוגיקה קלאסית. אלא שכדי "להמיר" לוגיקה אינטאיציוניסטית לקלאסית, אנחנו נדרשים לכללי היסק נוספים מוזרים, לא אינטואיטיבים.

לכן גדל, גנצן ואחרים בנו פונקציית תרגום מלוגיקה קלאסית לאינטואיציוניסטית:

• כל טיעון תקף אינטואיציוניסטית תקף קלאסית
• מצד שני, נסתכל על פונקציית התרגום הבאה g:

\[ \begin{align} g(p) &= \neg \neg p \\ g(A \lor B) &= \neg (\neg g(A) \land \neg g(B)) \\ g(A \to B) &= g(A) \to g(B) \\ g(\neg A) &= \neg g(A) \\ g(A \land B) &= g(A) \land g(B) \end{align} \]

טענה: A תקף קלאסית אם ורק אם g(A) תקף אינטואיציוניסטית.

אבל בעצם, אם אפשר לתרגם את הלוגיקות אלו באלו, אולי הן לא באמת לוגיקות שונות, אלא אותה הלוגיקה כשהיא מדברת אותם הדברים, באופן שונה? כמו שאפשר להגיד את אותם הדברים באנגלית ובעברית, אולי הן מדברות על אותו הדבר, בדרכים שונות?

קווין, למשל, חושב שאין פלורליזם לוגי - יש מערכות שונות לדבר על אותה הלוגיקה (מוניזם לוגי, מוניזם של מובן - שימוש שונה בביטויים השונים, בלא מחלוקת מהותית).

בראוור כופר במפורש בעמדה הזו - הוא חושב שבמתמטיקה הקלאסית יש חלקים שראוי לא לקבל, ואפילו לדחות.

לטובת בראוור ניתן לטעון שבתרגום אובד מידע - כמו שבעמים אסקימוסים יש עשרות מילים לשלג, שכולן נתרגם כשלג¹ - ולכן לא מדובר באותה הלוגיקה.

תורת המובן

מייקל דאמט חקר את הסוגיה באמצעות תורת מובן -

הגדרה

תורת מובן יכולה להיות תורת מובן ריאליסטית או תורת מובן אנטי-ריאליסטית, כאשר:

• תורת מובן ריאליסטית אומרת שהמובן של ביטוי ניתן על ידי תנאי האמת שלו.

למשל, היום יורד גשם - כולנו מבינים את אותו המובן כי יש תנאי אמת ברורים ומוסכמים (יורד גשם, או שלא יורד גשם). אם מישהו חורג מתנאי האמת האלו, נניח שהוא חורג מהמובן, או שהוא משתמש בו אחרת.

בפני הריאליזם ניצבים כמה אתגרים:

• אמת ומובן הם מונחים קרובים מדי.

  לדעת את האמת זה לדעת את המובן ולשגות בתנאי האמת זה לשנות את המובן.

• לא ייתכן שמשמעותו של ביטוי תיקשר בתנאים שלא ניתן לוודא.

  נחזור לקרב הימי של אריסטו. אנחנו לא יודעים אם יתרחש קרב ימי, עד שלא ייתרחש או לא ייתרחש. האם זה אומר שהטענה חסרת מובן? לא ממש; אנחנו מבינים מה הביטוי אומר - גם אם לא נדע לעולם אם יהיה או לא יהיה קרב ימי.

• למידת שפה

  איך תינוקות לומדים שפה? הם שומעים צלילים, מזהים את הדפוסים, ובניסיון לומדים איך לחבר אותם. אבל לפי הריאליזם, לא יכולנו בכלל לתפוס את הצורה לחבר אותם (התינוק חסר ניסיון ולא יודע את תנאי האמת), וכך יוצא שלא יכולנו ללמוד שפה!

לאור זאת נבחן את החלופה, תורת מובן אנטי-ריאליסטית -

תורת מובן אנטי ריאליסטית אומרת שהמובן של ביטוי ניתן על ידי תנאי הטעינה שלו - התנאים הקאנוניים שמאפשרים לי לטעון ביטוי כזה.

אמת היא תנאי להצדקה - לא אם הם קיימים במציאות. מכאן השם אנטי-ריאליסטית.

אמת, במצב כזה, היא מה שניתן לטעינה מוצדקת. זוהי תורה טענתית של האמת.

למצב כזה יש השלכות על הלוגיקה - מה בדבר דברים שאין לנו את תנאי הטעינה שלהם, כמו תשע התשיעיות של π? במצב כזה אנחנו לא יכולים לטעון לכאן ולכאן - ואולי עולה ערך אמת שלישי? אמיתי, שקרי, ולא יודע?

בשפה, זה דבר מקובל - מה השעה? לא יודע - אבל אם נשיב ככה למחשב, הוא יתבלבל.

מה שאנו דוחים היא ביוולנטיות - כלומר, עבור כל פסוק, או שהוא אמיתי או שהוא שקרי.

וכאילו זה לא מספיק גרוע, גדל טוען שמספר ערכי האמת של לוגיקה אינטואיציוניסטית איננו סופי. בביטוי המכיל p,q,r -

\((p \iff q) \lor (q \iff r) \lor (p \iff r)\)

זו טאוטולוגיה קלאסית - זה תמיד נכון. אבל אי אפשר להוכיח את זה בלוגיקה אינטנציאוניסטית.

ישנן פונקציות תרגום ללוגיקה מודאלית:

\[ \begin{align} g(p) = p \\ g(\neg A) = \Box\neg g(A) \\ g(A \to B) = \Box g(A) \to \Box g(B)\\ g(a \land B) = \Box g(A) \land \Box g(B) \\ g(A \lor B)= \Box g(A)\lor \Box g(B)\\ \end{align} \]

מודלי קריפקה

הגדרה

מודל קריפקה של לוגיקה אינטואיציוניסטית הוא רביעיה:

\(Μ = <G,@,v,R>\)

כאשר:

1. G - קבוצה של מצבים אפיסטמיים

2. \(@ \in G\) - המצב האפיסטמי הנוכחי

3. \(R\)יחס נגישות בין מצבים אפיסטמיים שהוא רפלקסיבי וטרנזיטיבי \(wRw'\) אומר אינטואיטיבית שב\(w'\) הרחבנו את המצב שידענו ב\(w\).

4. \(v\) - פונקציית הערכה. קודם כל לכל אטום \(p\):

   \(v(P) = 0 \lor 1\)

קרי, 0 משמע אני לא יודע האם זה המצב, ו1 משמע אני יודע שזה המצב.

זהירות - 0 לא אומר אני יודע שזה לא המצב, אלא אני לא יודע האם זה המצב - אני לא יודע שלא, אני פשוט לא יודע!

יש תנאי, שלא היה לנו בלוגיקה אינטואיציוניסטית: אם \(v(w,p) = 1\) וגם \(wRw'\) אז:

\[ v(w', p) = 1 \]

1. \[v(w,A \land B) = 1\ \ i.f.f\ \ v(w,A)=v(w,B)=1\]
2. \[v(w, A \lor B)\ i.f.f\ v(w,A) =\ 1\ \ or\ \ v(w,B) = 1\]
3. \[ \begin{align} v(w,\neg A)\ i.f.f\ for\ all\ w'G\ so\ that\ wRw':\\ v(w',A) = 0\\ \end{align}\]
4. \[\begin{align} v(w, A \to B)\ i.f.f\ for\ all\ W' \in G\ so\ that\ wRw':\\ if\ v(w',A) = 1\ then\ v(w',B) = 1 \\ \end{align}\]

הגדרה: נאמר שפסוק \(A\) אמיתי במודל \(M\) \((M \models A)\) אם \(v(@,A) = 1\)

טענה: לכל פסוק \(A\) ועולם \(W\):

אם \(v(W,A)=1\) וגם \(wRw'\) אז \(v(w', A)=1\).

---

1. ובקוריאנית יש ה מ ו ן מילים לתודה (감사합니다, 고맙습니다, 고마워...), תלויות הקשר. ↩