לוגיקה טמפורלית

ראינו הרבה משפטים כמו:

כל היוונים הם בני תמותה

סוקראטס הוא יווני

---

סוקראטס בן תמותה

אבל יש כאן בעיה. סוקראטס היה יווני.

אנחנו משחקים כאן על Τense: אנחנו רוצים לדעת לדבר על זמנים שונים. נעשה זאת בשפת תחשיב הפסוקים וסימנים חדשים -

• \(Pα\)

  \(α\) היה אמיתי בנקודה כלשהי בעבר

• \(Fα\)

  \(α\) יהיה אמיתי בנקודה כלשהי בעתיד

• \(Gα\)

  \(α\) יהיה אמיתי בכל נקודה בעתיד

• \(Hα\)

  \(α\) היה אמיתי בכל נקודה בעבר

דוגמה

1. Mary is walking - \(q\)
2. Mary walked - \(Pq\)
3. Mary will walk - \(Fq\)
4. Mary had walked - \(P(Pq)\)
5. Mary will have walked - \(F(Pq)\)
6. You are still young, but you will not always be so - \(Pq \land \neg Gq\)
7. I'm faithful to you, and I will always be - \(Pq \land Gq\)
8. John has read Harry Potter, and Joe has too - \(Pq \land Pz\)

ראו גם

האם יש בכלל זמן? מקטאגרט כותב שלא - Τhe Unreality of Time (McTaggart)

וגם שפינוזה.

מערכות בסיסית

1. CL
2. \(G (α \to β) \to (Gα \to Gβ)\)

3. \(G (α \to β) \to (Hα \to Hβ)\)

4. \(α \to Gpα\)

   אם α אמיתי, אז בכל נקודה בעתיד יהיה נכון שα בנקודה כלשהי בעבר (ההווה הוא העתיד של העבר והעבר של העתיד¹).

5. \(α \to HFα\)

המערכת, שהגה Arthur Prior²:

הגדרה

מודל טיפוסי הוא שלישיה \(Μ=<Ζ,Β,v>\) כאשר:

\(Z\) - קבוצה של נקודות בזמן

\(B\) - יחס של קבוצה בזמן. לכל שתי נקודות בזמן אפשר לשאול אם \(t1Bt2\)

\(v\) - פונקציית הערכה. לכל פסוק אטומי \(P\) ונקודה \(t=Z\):

\(v(t,p)\) = ערך האמת של \(p\) ברגע \(t\)

תנאי האמת לאופרטורים:

\(v(t,Pα) = T\ if\ t' \in Z\ so\ that\ t'Bt\ and\ v(t',α) = Τ\)

\(v(t,Fα) = T\ if\ t' \in Z\ so\ that\ tBt'\ and\ v(t',α) = T\)

\(v(t,Gα) = T\ if\ t' \in Z\ so\ that\ tBt'\ and\ v(t',α) = T\)

\(v(t,Hα) = T\ if\ t' \in Z\ so\ that\ tBt'\ and\ v(t',α) = T\)

טענות

• \(Μ \models α if\ v(t,α) = Τ\ for\ every\ t \in Z\)

טרנזיטיביות

בכל מבנה טמפורלי \(M\) בו \(B\) טרנזיטיבי -

\(Μ \models Hα \to HHα, Μ \models Gα \to GGα\)

התחלה

לזמן יש התחלה -

\(Η(p \land \neg p) \lor PH(p \land \neg P)\)

סוף

לזמן יש סוף -

\(FG(p\land \neg p) \lor G(p\land \neg p)\)

(שניהם משחקים על זה שלפני הזמן ואחריו סתירות היו אמיתיות: אין דוגמת נגד)

לינאריות

הזמן הוא לינארי -

זמן ייקרא לינארי אם אין בו פיצולים. קרי, לכל שתי נקודות \(t1, t2\):

• הן אותו הרגע (\(t1=t2\))
• \(t1\) קדם ל \(t2\)
• \(t2\) קדם ל \(t1\)

\(Μ \models ( Fα \land Fβ) \to (F(α \land β) \lor F(A \land Fβ)) \lor F(β \land Fa)\)

אם אלפא יקרה בעתיד וביטא יקרה בעתיד, או שהם יקרו באותו הרגע, או שאלפא יקרה לפני בטא, או שבטא יקרה לפני אלפא.

בדידות

זמן ייקרא בדיד (דיסקרטי) אם לכל נקודה בזמן, יש נקודה שהיא זו שקדמה לה.

כלומר, לכל \(t1\) יש \(t2\) כך ש\(t2Bt1\) וגם אין \(t3\) כך ש - \(t3Bt1 \land t2Bt3\)

\(Μ \models (α \land Gα) \to PGα\)

\(Μ \models (α \land Hα) \to FHα\)

צפיפות

זמן ייקרא צפוף אם לכל שתי נקודות \(t1,t2\) כך ש \(t1Bt2\)

יש \(t3\) כך ש- \(t3Bt2\) וגם \(t1Bt3\)

בתמצית, בין כל שתי נקודות יש נקודה שלישית³.

\(Μ \models Fα \to FFα\)

\(Μ \models Pα \to PPα\)

הטיעון של דיאדורוס

אריסטו סבר שהעבר סגור - בלתי ניתן לשינוי - אבל העתיד פתוח (מחר יתקיים קרב ימי).

מול אריסטו ניצב דיאדורוס כרונוס¹ חושב שיש סתירה פנימית בין שתי הטענות של אריסטו. הוא מניח שתי הנחות שאריסטו אמור לקבל:

1. העבר הכרחי. מה שהיה, היה - נגמר, לא ניתן לשינוי

2. אם משהו בלתי אפשרי (\(P\)) נגרר על ידי משהו אחר (\(Q\)), אז גם המשהו האחר (\(Q\)) בלתי אפשרי.

נניח ואנחנו מדברים על צדף.

• \(P\) - הצדף לא נראה ואף פעם לא ייראה

• בעבר נכון "בעתיד \(P\)".

אבל העבר הכרחי. לכן,

• בהכרח בעבר "בעתיד \(P\)"

כלומר,

• לא אפשרי שבעבר "בעתיד לא \(P\)"

אבל, אם נניח כמו אריסטו שהעתיד פתוח, אז אפשרי שלא \(P\) (\(\neg P\)). אזי ממילא:

• "בעתיד לא \(P\)" - אפשרי

וכך נובע דטרמיניזם!

מה?

אם העבר הכרחי, והעבר טוען טענות לגבי העתיד, אז הרי שאם טענו משהו לגבי העתיד בזמן עבר, או שקיבענו את העתיד (במידה והטענה מתממשת) או ששינינו את העבר (במידה והטענה לא מתממשת); זו בעיה רצינית.

\[\begin{align} A: Pα \to \neg \Diamond \neg Pα (\Diamond Pα) \\ Β: \Box(α \to β) \to (\neg \Diamond β \to \neg \Diamond α)\ (Axiom\ K)\\ D: α \to \neg P \neg Fα \\ E: (\neg α \land \neg Fα) \to P \neg Fα\ (Determinism)\\ \therefore \\ C: (\neg α \land \neg Fα) \to \neg \diamond α \\ \end{align}\]

---

1. מי אמר שיעור פילוסופיה ולא קיבל? ↩↩

2. איזה שם מעולה לפילוסוף שעוסק בזמן. ↩

3. קאנט אמר את זה. ↩