למבחן

מבחן דמה

  1. בדוגמאות נגד - הפעמים הראשונות יהיו קשות; לא להציץ בתשובות. הפעמים הבאות יהיו קלות.
  2. ה מ ו ן חזרות. לנסות לבד! כשנתקעים, תבינו מה לא הבנתם.

מבנה:

  1. מבוא (פסוקים, פרדיקטים)
  2. מודאלית
  3. טמפוראלית
  4. אינטואיציוניסטית

שאלות:

  1. א.
    • ~~"לא יודע"~~
    • "מחר יהיה קרב ימי" (קביעה מטאפיזית עכשיו על אירוע עתידי)
    • ~~חובות אתיות~~

המטרה: דברים שפוגעים בתקפות הפורמלית:

  • הצבה בהקשרי ידיעה: "רע = המרצה בקורס", "טראמפ יודע שהמרצה בקורס הוא המרצה בקורס", אבל לא נכון ש"טראמפ יודע שרע הוא המרצה בקורס"

  • הכרח (הבקבוק ריק\ הבקבוק ריק אז הוא בהכרח לא מלא -> הבקבוק בהכרח לא מלא (לא נכון))

  • בונוס: פרדוקס השקרן (אי אפשר להצרין, אמיתי או שקרי)

\(\(\begin{align} p\\ p \to \neg q\\ \therefore q \end{align}\)\) נופל (זה שהבקבוק ריק לא גורר מטאפיזית שהבקבוק לא מלא)

ב. \(A, \neg A \vdash B\) \(\(\begin{align} \neg A \\ \neg A \to (\neg B \to \neg A) \\ \neg B \to \neg A \\ (\neg B \to \neg A) \to (A \to B) \\ A \to B \\ A \\ B \\ \end{align}\)\)

  1. Assum.
  2. Axiom 1. (\(A = \neg A\))
  3. 1, 2, MP
  4. Axiom 3.
  5. 3,4, MP
  6. Assum.

  7. 5,6, (MP)

  8. א. הוכיחו: $M_{trans} \vdash (\Box A \to \Box \Box A)$

נניח בשלילה:

  1. \(\neg \Box \Box A\) Assum.
  2. \(\Diamond \neg A\) 1
  3. \(W = {w1, w2, w3}\) Ass.
  4. \(w1Rw2\) Trans.
  5. \(w2Rw3\) Trans.
  6. \(v(a,w1) = T\) Ass.
  7. \(v(a,w2) = T\) Ass.
  8. \(v(a,w3) = F\) Ass.
  9. \(v(\Box A, w3) = F\), 8, Ref.
  10. \(v(\Box A, w2) = F\), 5, 9
  11. \(v(\Box A, w1) = T\) 4,6,7
  12. \(v(\Box \Box A, w2) = F\), 5,9
  13. Contradiction 8,12

$$M \nvDash \Box A \to \Box \Box A $$ כלומר

  1. \(v(@, \Box A) = T\)
  2. \(v(@, \Box \Box A) = F\) (\(\Box \Box A = B\)) $

מ 2., יש \(w1 \in W\) כך ש\(@Rw1\) וכן \(v(w1, \Box A) = F\)

ולכן יש \(w2 \in W\) כך ש\(w1Rw2\) וכן \(v(w2, A) = F\)

כעת, \(@Rw1\) וכן \(w1Rw2\) ולכן מטרנזיטיביות: \(@Rw2\) בסתירה ל1. (כאן מספיק - ניתן להוסיף).

כי לפי 1. לכל \(w\) כך ש\(@Rw\): \(v(w,A) = T\)

לא מספיק לצייר בהוכחות כלליות - רק בדוגמאות נגד!

ב.

קרנאפ מנסה לתפוס הכרח של הגדרות (רווק הוא גבר לא נשוי) - לא אמיתי כתוצאה מהעולם, אלא מעצם ההגדרה "רווק", ללא תלות במצב העניינים (ולכן טאוטולוגיה).

  1. 1.1 p 1.2 PPp

    1. \(FG(p \land \neg p) \lor G(p \land \neg p)\), \(t \in Z\ so\ that\ for\ every\ t' \in Z:\ if\ t' \not \equiv t\ then\ t'Bt\)

יש נקודה בזמן (\(\exists t\)) כי אמיתי בלוגיקה טמפורלית הוא בכל נקודה בזמן

\(\exists t \in Z: v(t, FG(p \land \neg p) \lor G(p \land \neg p)) = F\)

כלומר

\(v(t, FG(p \land \neg p)) = F\)

\(v(G(p \land \neg p)) = F\)

נסמן את הנק' האחרונה בזמן \(t_{end} = t \to v(t, G(p \land \neg p)) = T\) (Assum.)

אז

\(v(t', p \land \neg p) = T\)

(כי אין \(t'\) - אין נקודה אחרי \(t\))

אבל אז

האינטואיציוניסטים טוענים ממקום אפיסטמי שאין רק "אמת" או "שקר" אלא גם "לא יודע" - מצב שבו נמנעים מלטעון שדבר הוא כך או אחרת. לכן הם דוחים את עקרון השלישי הנמנע.

התורה מתבססת על תנאי טעינה, כאשר תנאי הטעינה של פסוקים מורכבים נשענת על תנאי הטעינה של פסוקים פשוטים יותר.

טעינת פסוק מהצורה \(\neg A\) מוצדקת אם יש דרך להראות שטעינת \(A\) מובילה לאבסורד

טעינת פסוק מהצורה \(A \land B\) מוצדקת אם מוצדק לטעון הן את \(A\) והן את \(B\)

טעינת פסוק מהצורה \(A \lor B\) מוצדקת אם לטעון אם או את \(A\) או את \(B\)

טעינת פסוק מהצורה \(A \to B\) מוצדקת אם בהינתן שאני מוצדק לטעון את \(A\) אני מוצדק לטעון את \(B\).

מכל אלו נובע שהיחס לשלישי הנמנע הוא שלא מוצדק לטעון אותו אוטומטית - אפשר לטעון אותו רק כשאני מוצדק לטובת אחד מהצדדים (\(A\) או \(\neg A\)). הם לא טוענים את השלישי הנמנע, ולא דוחים אותו.

  1. משום שיש מצב שלישי ("לא יודע"), שלילת שלילת A ("זה לא נכון שA אינו המצב") אינו מספיק כדי לקבוע שA ("A אכן המצב").

    \(v(A,w1) = 1\) \(v(A, w2) = 0\) \(v(A, w3) = ?\)

  2. א.