מודאלית

לוגיקה מודאלית היא לוגיקה שעוסקת במונחי האפשרות (◇) וההכרח (□) - מה שעוסקים בו במטאפיזיקה.

אריסטותלית

אריסטו מחלק את היישים והתכונות לשלוש סוגים:

• אפשרי (יכולים להיות קיימים, אבל לא קיימים כרגע)
• אקטואלי (קיימים בפועל)
• הכרחי (לא יכולים לא להיות קיימים)¹

כלומר -

\(◇A\) - יכול לרדת גשם היום

\(□A\) - חייב לרדת גשם היום

\(A\) - יורד גשם היום

אפשרות והכרח עומדים ביחס - מה שהכרחי, שלילתו לא יכולה להיות אפשרית -

\(□A ≡ ~◇~A\)

ומה שאפשרי, לא ייתכן ששלילתו הכרחית -

\(◇A ≡ ~□~A\)

אם הבקבוק ריק (p) אזי הוא לא יכול להיות מלא (q)

הבקבוק ריק (p)

---

הבקבוק לא יכול להיות מלא.

---

זה נשמע כמו □~q, ~◇q

אבל ההכרח חל רק על הקשר! - לא על הרישא ולא על הסיפא!

ההצרנה הנכונה היא:

□(p -> ~q)²

בנוגע לתכונות, יש תכונות מהותיות ותכונות לא מהותיות, שחשוב להבדיל ביניהן. אם ניקח ממני את התכונה של יד, עדיין אהיה אני, מצער ככל שהדבר יהיה - אם ניקח ממני את התכונה של ראש, כנראה שלא.

מודרנית

לוגיקה מודאלית מודרנית מתחילה עם פסוקים. נחזור לדוגמה שלנו.

אם הבקבוק ריק (p) אזי הוא לא יכול להיות מלא (q)

הבקבוק ריק (p)

□(p -> ~q)

עדיין מרגיש לנו שמסתתר כאן מודוס פוננס. איך נניח הנחות חזקות יותר כדי להנביע אותו? הדוגמה עם הבקבוק מפספסת.

בהכרח האפיפיור רווק (P) בהכרח: אם האפיפיור רווק אז הוא לא נשוי (Q)

---

בהכרח: האפיפיור לא נשוי

משמע: □P

□(P -> ~Q)

---

□~Q

איך נגיע לזה? אקסיומה נוספת - אקסיומה K³

מערכת K

אקסיומה K

□ (Α -> Β) -> ( □Α -> □Β )

אם בהכרח (A אז B), אז (אם A בהכרח אז B בהכרח)

האקסיומה ניצבת בבסיס מערכת K ללוגיקה מודאלית, שלה שלושה מרכיבים:

1. האקסיומות וכללי ההיסק של תחשיב הפסוקים (CL)
2. אקסיומה K
3. כלל ההיסק Necessitation (הכרחה?) - Α -> □Α
   • מוגבל אך ורק לגזירות בלי הנחות

מערכת T

1. CL
2. K
3. Nec.
4. אקסיומה T:

   □Α -> Α
   

מערכת D

בהקשרים אתיים, יש את מושג החובה - שהוא גם מושג של הכרח. במושג הזה, לא נכון ש□A -> A!

(יש חובה להתנהג באופן מסוים - היא הכרחית - אבל ייתכן שלא ממלאים אותה!)

בהקשרים אתיים, אנחנו צריכים אפוא חלופה לT.

□A -> ◇A

כלומר, אם חובה שA, אפשר שA.

זוהי מערכת D, מלשון דאונטית.

יש גם מובן עמוק יותר למושג החובה - שנוי במחלוקת:

    □(□A -> A)

כלומר, אם יש חובה, חובה לקיים אותה.

כפילויות?

ומה נעשה עם דברים כמו:

    □□A

    □◇A

    ◇◇A

וכו' וכו'?

אנחנו רוצים לוותר על הכפילויות, בלי להגיע לאקסיומה:

    A -> □A

מערכת S4

הפתרון הוא אקסיומה S4:

    □A -> □□A

בהכרח A ובהכרח בהכרח A שקולים.

1. T
2. אקסיומה S4.
3. עובדות S4:

   1.  □A ≡ □□A
   
   2. ◇A ≡ ◇◇A
   
   3. □◇□◇A ≡ □◇A
   
   4. ◇□◇□A ≡ ◇□A
   

משתמשים במערכת S4 בהקשרים אפיסטמיים - אם אני יודע משהו אני יודע שאני יודע משהו.

מערכת S5

ביטויים כמו □◇A

    ◇□A

עדיין מעצבנים.

הפתרון הוא מערכת S5:

1. T

2. ◇A -> □◇A
   

עובדות בS5:

a.

    ◇A ≡ □◇A

b.

    □A ≡ ◇□A

c.

    ⊢(s5) □A -> □□A

כלומר, אקסיומה S4 יכיחה בS5.

מערכת B

1. מערכת T

2.  Α -> □◇A
   

עובדה: B יכיחה בS5. למה? בגלל ש Α -> ◇A

יכיח בT.

לכן,

    ◇A -> □◇A

לכן אפשר להוכיח

    A -> □◇A

אבל רגע, S5

S5 היא החזקה בכל המערכות.

בפילוספיה מקובל לחשוב שS5 היא זו שתופסת את מושג ההכרח המטאפיזי.

סמנטיקה

רודולף קארנפ, מהפוזיטיביסטים הלוגיים כתב ב1948 את Μeaning & Necessity.

נבחן פסוק כמו -

רווק הוא גבר לא נשוי

למה זה עובד? זה לא נכון כי עשינו תצפית וראינו שכל הרווקים לא נשויים; זה נכון כי זו ההגדרה הלשונית. המובן של רווק זה שהוא לא נשוי. מה זה אומר המובן של רווק? קרנפ גורר פנימה את מושג ההכרח. כלומר, אם אתה טוען שרווק הוא נשוי, אתה לא טועה - אתה משנה את ההגדרה - מדבר בשפה אחרת!

אם נגדיר רווק כA, זה לא ש□A אם ורק אם משהו - זה שA, בהיותו A הוא טאוטולוגיה.

P	Q	R	PvQ	~P	Pv~P	□P	◇P
T	T	T	T	F	T	F	T
F	T	T	T	T	T	F	T
T	F	T	T	F	T	F	T
F	F	T	F	T	T	F	T
T	T	F	T	F	T	F	T
F	T	F	T	T	T	F	T
T	F	F	T	F	T	F	T
F	F	F	F	T	T	F	T

כל שורה בטבלת האמת מייצגת מצב עניינים⁴, או עולם אפשרי⁵. ביטוי שהוא טאוטולוגי הוא ביטוי שנכון בכל עולם אפשרי.

כלומר,

□A אמיתי אם בכל שורה A אמיתי

◇A אמיתי אם יש שורה שבה A אמיתי

הגדרה

1. מודל קרנפ הוא שלישיה סדורה <M = <M, @, V כאשר
2. @ ∈ W - העולם הממשי

3. V פונקציית הערכה שנותנת ערך אמת לכל פסוק בשורה בטבלה v(W,P) = הערך של P בעולם W

   1. V(w, ~A) = T if v(w,A) = F

   2.

    v(w, A->B) if v(w,A) = F or v(w,B) = T
   

   3.

   v(w, □A) if in every line w` ∈ W
   
       v(w`, A) = T
   

   4.

   v(W, ◇A) = T if there is w` ∈ W
   
       v(w`,A) = T
   

נאמר שפסוק A תקף-קרנפ אם לכל מודל M לכל עולם אפשרי w ∈ W

v(w,A) = T

הרעיון הבסיסי הוא טבלאות אמת - עם תנאי אמת עבור ביטויי אפשרות והכרח.

כל שורה בטבלת האמת מייצגת "מודל" - מצב עניינים, או עולם אפשרי.

הבעיה היא ש:

• כל האקסיומות תקפות קארנפ
• לא S5 - עבור P אטומי P◇ טאואולוגיה (כלומר, כל פסוק שנציב כאן יהיה טאוטולוגיה!)
• חמור יותר - נציב Q וגם לא Q במקום P - ◇(Q & ~Q) - אבל זה לא תקף קארנפ!

את 2 ו3 אפשר לתקן באמצעות מחיקת שורות בטבלת האמת: נניח וP - יורד גשם, Q - יש עננים

P	Q
T	T
F	T
T	F
F	F

אחד המצבים (יש גשם ואין עננים) לא אפשרי! אז מחקנו את השורה שלו מטבלת האמת:

P	Q
T	T
F	T
~~T~~	~~F~~
F	F
זה שהתרחיש שם קומבינטרית לא אומר שהוא אפשרי - ולכן אנחנו מוחקים אותו.

השאלה איזה שורות אני מוחק תלויה בנקודת הפתיחה שלי (אני מדבר על גשם, אני בבאר שבע, וכו').

מההגדרה של קארנפ נובע:

v(W,~A) = T if v(W,A) = F
v(W, A->B) = T if (v(W,A) = F or v(W,B) = F)
v(W,□A) = T if for ALL w`∈W v(w`,A) = T

אבל את הבעיה האחרונה לא הצליח קארנפ לפתור, ונשלח לתהום הנשייה. ואז, הגיע קריפקה.

---

1. לפי אריסטו, יש רק דבר אחד כזה, והוא האל. ↩

2. זהו כשל לוגי נפוץ אצלנו - אנחנו נוטים לחשוב על משפטי תנאי (אם ככה אז ככה) כהכרחיים, כמו בהצרנה הזו - כשלמעשה יש הרבה מקרים שיש תנאי בלי ההכרח (A -> B) ולא □(A -> B). ↩

3. על שם קריפקי. ↩

4. מויטגנשטיין. ↩

5. מלייבניץ. ↩