לוגיקה פאראקונסיסטנטית

בלוגיקה קלאסית למדנו ש -

\[A, \neg Α \vdash B\]

יכול להנביע כל פסוק (כלומר, מסתירה נובע כל דבר), ודי התעלמנו מזה, למרות שזה מוזר.

אבל יש עם הדבר המוזר הזה כמה בעיות:

1. תוכן - לא חייב להיות קשר בין התוכן של A וB. ובכל זאת אנחנו מקבלים "בחינם" את התוכן של B, וזה סותר את האינטואיציה הטבעית.
2. הצדקה - אנחנו חושבים שאם יש לנו טיעון תקף, אנחנו מוצדקים להאמין למסקנה שלו - אבל נדמה שהסתירה מפרה את זה.

3. אי-יעילות - זו בעיה מעולם מדעי המחשב. חשבו על מצבי אסון; מגיע מיד הרבה מידע סותר על אותו הדבר. לאן המחשב צריך לשלוח תגובה? אם יש הרבה מידע סותר, הוא יתפוצץ.

   לא ברור שאנחנו שונים מהמחשב. גם אנחנו עלולים להאמין בדברים עם סתירה פנימית. ובכל זאת אנחנו לא מסיקים כל פסוק - לא לוגית, ולא פסיכולוגית.

אז איך שומרים על ההגדרה הכללית של תקפות - אם כל ההנחות אמיתיות אז המסקנה חייבת להיות אמיתית - ודוחים את \(A, \neg Α \vdash B\)? הדרך היא, באיזשהו מובן, לתאר סתירות אמיתיות, כמו ההאמנות הסותרות שלנו.

הגדרה - לוגיקה פאראקונסיסטנטית

לוגיקה פאראקונסיסטנטית היא כל מערכת לוגית שלא דורשת עקביות - כלומר, שהיא סבלנית כלפי סתירות: היא דוחה את הדרישה של רוב מערכות הלוגיות לאמיתי או שקרי.

ישנן לוגיקות פאראקונסיסטנטיות רבות, דוגמת לוגיקת הפרדוקס וK3.

דיאלתאיזם

העמדה הפילוסופית הזו מכונה Dialetheism¹ - העמדה לפיה יש סתירות אמיתיות.

ראו גם

Graham Priest - What is so Bad about Contradictions?

פריסט לא מנסה, כמו לוגיקה אינטואיציוניסטית, לשנות את החשיבה מהיסוד: הוא רוצה לשלם את המחיר המינימלי בסתירות אמיתיות ולהמשיך הלאה.

טענות נגד

1. סתירות גוררות הכל וזה רע.

   נטפל בזה בהמשך.

2. סתירות לא יכולות להיות אמיתיות כי הן חסרות המשמעות, ומה שאין לא משמעות הוא לא אמיתי.

3. אי אפשר להאמין בסתירות בצורה רציונלית.

   זה לא נכון!

   נניח וכתבתי ספר. אני חושב שכל מה שכתבתי נכון. עם זאת, אני יוצר סופי, וסביר להניח שטעיתי איפושהו. אני מאמין שטעיתי איפושהו, אבל בו בזמן אני מאמין ששמה שכתבתי נכון. לוגית, זו סתירה סתירתית לגמרי, בקטע סתירתי. אבל האם זה לא רציונלי? מרגיש לנו הפוך: זה הכי רציונלי!

דוגמה נוספת - פריסט היה אדם נוצרי דתי. בנצרות יש בעיה תיאולוגית קשה - בדמות השילוש הקדוש - איך שלוש נהיים אחד? זוהי בעיה שפריסט ניסה לפתור. זה דוגמה של פרדוקס השקרן -

1. (1.) הוא משפט שקרי.

זו סתירה רצינית. אבל אנחנו כן מבינים את זה באיזשהו מובן, ואנחנו בטח לא יכולים להסיק ממנו הכל, אומר פריסט - ולכן הוא חושב שפסוקים כמו זה הם גם אמיתיים וגם שקריים.

1. אם היו סתירות אמיתיות, לא היה אפשרי לבקר אף אחד.

בדיחה חסידית מספרת על שני צדדים ניצים שבאו לגישור אצל הרבי. הרבי הקשיב לצד הראשון ואמר, כן, אלו טיעונים מאוד משכנעים, אתה צודק, ואז שמע את הצד השני ואמר שוב כן, אלו טיעונים מאוד משכנעים, אתה צודק. אשתו של הרבי מתפרצת פנימה וזורקת - לא יכול להיות ששניהם צודקים, והוא משיב כן, את צודקת.

התשובה של פריסט היא שסתירה יכולה להיות אמיתית (כמו פרדוקס השקרן) אבל לא כל סתירה אמיתית (כמו דואליזם ומטריאליזם, זה פשוט לא יושב).

1. אם יש סתירות אמיתיות, אי אפשר לדחות כלום.

אם ב\(P \lor \neg P\) אנחנו דוחים בהכרח את אחד מהשניים, אבל יש סתירות אמיתיות, אנחנו לא יכולים לדחות את \(P\).

פריסט, בתגובה, מבחין בין שלילה לדחייה. זו טענה של פרגה - סביב המובן. חשבו על המשפט -

אם יורד גשם יש עננים

יורד גשם

---

יש עננים

אם יורד גשם זו לא טענה: זה תנאי מסיום. אבל יורד גשם זו טענה.

פרגה מפריד בין תוכן הטענה לכוח הטענה - מה הטענה אומרת, ומה עושים איתה בפועל:

שלילה היא אמצעי לשוני - למשל, אם אין עננים לא יורד גשם מכיל שתי שלילות.

דחיה היא Speech Act - היא חישוב כנגד הפסוק כולו. היא שימוש בלשון על מנת לבצע פעולה כלשהי

אם נקבל דיאתליזם, שלילה תפסיק להוות דחייה, וזו בעיה - אבל ייתכן וישנה דרך אחרת לדחות דברים - בלי המילה לא.

לאור כל הקשיים האלה, הגה גרהאם את לוגיקת הפרדוקס.

לוגיקת הפרדוקס

המניע מאחורי לוגיקת הפרדוקס היא לשמר כמה שיותר מהלוגיקה הקלאסית, אבל לאפשר בה סתירות אמיתיות.

הרעיון המרכזי הוא שאמת ושקר לא מוציאים זה את זה.

אם אמת ושקר לא מוציאים אלו את אלו, אנחנו צריכים דרך אחרת להבין מתי פסוק אמיתי ומתי הוא שקרי.

לכל פסוק ניתן קבוצה של ערכי אמת: \(\{T, F\}\), או \(\{T\}\) או \(\{F\}\).

פונקציית הערכה \(V\): נותנת לפסוקים האטומיים אחת משלושת הקבוצות הללו.

תנאי האמת לשלילה:

\[\begin{align} T \in \lor (\neg A)\ i.f.f\ F \in \lor(A) \\ F \in \lor (\neg A)\ i.f.f\ T\in \lor(A) \\ \end{align}\]

תנאי האמת לאמת:

\[ \begin{align} T \in \lor (A \lor B)\ i.f.f\ T\in\lor(A)\ or\ T\in\lor(B) \\ \\ F \in \lor (A \lor B)\ i.f.f\ F\in\lor(A)\ or\ F\in\lor(B) \\ \\ T \in \lor (A \land B)\ i.f.f\ T\in\land(A)\ and\ T\in\land(B) \\ \\ F \in \lor (A \land B)\ i.f.f\ F\in\land(A)\ and\ F\in\land(B) \\ \end{align} \]

בעצם, מסתתר פה ערך אמת נוסף - \(P\) (פרדוקס - אמת ושקר)

\(A\)	\(\neg A\)
T	F
P	P
F	T

בדיסיונקציה -

	B	B	B	B
A	\(\lor\)	T	P	F
A	T	T	T	T
A	P	T	P	P
A	F	T	P	F

ובקוניוקנציה -

	B	B	B	B
A	\(\land\)	T	P	F
A	T	T	P	F
A	P	P	P	F
A	F	F	F	F

---

\(Γ \models A\) אם אין \(v\) כך ש \(Τ\in\lor(C)\) עבור כל \(c \in Γ\) אבל \(T\notin\lor(A)\)

או בלשון אחרת: אין שורה בטבלת האמת שבה כל ההנחות מקבלות \(T\) או \(P\) אבל המסקנה היא \(F\).

טענה - בהינתן הערכה \(v\) "קלאסית": כל פסוק אטומי מקבל או \(T\) או \(F\) ולא \(P\). אז כל פסוק מקבל או \(T\) או \(F\) ולא \(P\).

הוכחה - חזרו לטבלאות הקודמות ומחקו כל שורה\טור שמופיע בו ערך האמת \(P\) - תתקבל טבלת אמת "קלאסית".

משפט - \(A\) טאוטולוגיה קלאסית אם ורק אם \(A\) טאוטולוגיה גם בלוגיקה של הפרדוקס (LP).

ביקורת

טענה קלאסית כנגד לוגיקת הפרדוקס הוא הסילוגיזם הדיסיונקטיבי (Disjunctive sylogism).

נתון:

\[Α, \neg A \lor B \models B\]

נניח \(A\), \(B\) אטומיים לצורך העניין. ניקח \(v\) כך ש-

\[v(A) = P, v(B) = F\]

מכך נובע בלוגיקת הפרדוקס:

\[v(\neg A) = P, v(\neg A \lor B) = P\]

זו דוגמה נגדית - A אמיתי, שלילת A או B אמיתית, וB - שקרית; כלומר, טיעון שתקף בלוגיקה קלאסית, לא תקף בלוגיקת הפרדוקס.

\(\to\)	\(T\)	\(P\)	\(F\)
\(T\)	T	P	F
\(P\)	T	P	P
\(F\)	T	T	T

ולכן, במקרים בהם A פרדוקסלי וB שקרי, נקבל דוגמה נגדית למודוס פוננס² -

\[ \begin{align} A \\ Α \to B\\ \ \therefore B \end{align}\]

זו כמובן בעיה - אנחנו רוצים, כלוגיקאים, להאמין שמודוס פוננס תקף.

בעיה נוספת היא עם שקילות - פסוקים פרדוקסלים שקולים לכל פסוק אחר!

\(\leftrightarrow\)	\(T\)	\(P\)	\(F\)
\(T\)	T	P	F
\(P\)	P	P	P
\(F\)	F	P	T

למה זה בעייתי? חשבו שאגיד בשפה - היום יורד גשם הוא אמיתי ורק אמיתי. בלוגיקה פרדוקסלית אין דרך להגיד את זה! בלוגיקה קלאסית נגיד שזה גורר לאבסורד (סתירה) - אין חיה כזו בלוגיקה פרדוקסלית: איך אומרים משהו שהוא רק אמיתי, או רק שקרי?

פריסט עצמו ניסה להראות שאם נכונן פסוק תנאי שכן נשמע למודוס פוננס, הבעיה תיפתר: זהו מושא של לוגיקת Relevance Logic, שהיא מסובכת להחריד.

פתרון נוסף הוא כללי היסק מסוימים. נניח ונכתיר את הפסוק יורד גשם כα - ואז נגיד, בגלל שגשם - ספציפית גשם, עובד בצורה כזו, α יכול להיות או אמיתי או שקרי, וזהו.

מערכת הוכחה

1. אקסיומה: \(Α \lor \neg A\)

2. כללים של דדוקציה טבעית לדיסיונקציה וקוניונקציה:

   \[\begin{align} \neg \neg A \therefore A \\ A \therefore \neg \neg A \\ \neg (A \land B) \therefore \neg A \lor \neg B \\ \neg (A \lor B) \therefore \neg A \land \neg B \end{align}\]

3. עובדה: אם \(Γ \models A\) (בלוגיקה של הפרדוקס), אזי יש לפחות פסוק אטומי אחד q שמופיע גם בA וגם בחלק מפסוקי Γ.

כלומר, יש קשר הכרחי בין הנחות למסקנה - הישג נאה.

לוגיקה של הפרדוקס מתבררת כחלשה מאוד מחוץ לטאוטולוגיות של לוגיקה קלאסית; אולי כדאי לעשות משהו אחר. מקרים כמו פרדוקס השקרן הם נדירים: אולי כדאי לדחוק אותם הצידה, ולא לפגוע בחוזקת הלוגיקה כולה בשבילם?

פריסט מציע גם פתרון כזה.

Μinimally Inconsitent Paradox Logic

בגרסא המינימלית של לוגיקת הפרדוקס,

• הנחה: ברירת המחדל היא עקביות: ככלל, אין סתירות אמיתיות.

• קיצור: ערך האמת של פרדוקס (\(P!\)) גורר:

\[P! = P \land \neg P\]

$ - הגדרה: \(v1 < v2\) אם ורק אם:

\[ \{ q\ |\ v1(q) = p\} \subset \{q\ |\ v2(q) = p\} \]

נגדיר \(v\models B\) אם \(Τ \in \lor (B)\) וגם לכל \(v' < v\): \(v'(B) = \{F\}\)

• דוגמא: \(p \land \neg p\)

  המודל המינימלי הוא זה שבו \(v(p) = P\) אבל לכל פסוק אטומי אחר \(q\): \(v(q)\) קלאסי.

• הגדרה: \(Γ \models A\) אם לכל מודל מינימלי של פסוקי Γ הוא מודל של A.

בבירור -

\(Γ \models_{LP} A\) אזי \(Γ \models A\).

נניח ש\(Σ\) היא קבוצת פסוקים, ונסמן ב\(Σ(CL), Σ(M), Σ(LP)\) את הסגור של \(Σ\) - כל מה שניתן להסיק מΣ תחת הלוגיקות LP, M, CL.

אזי -

\[ Σ_{LP} \subseteq Σ_{M} \subseteq Σ_{CL} \]

כלומר, לוגיקה קלאסית היא החזקה מכולן, הלוגיקה הזו - לוגיקה מינימילית - באמצע, ולוגיקה של הפרדוקס היא החלשה ביותר.

דוגמה: \(Γ = \{p, \neg p, p \lor q\}\)

אזי:

\[\begin{align} Γ \nvDash_{LP} q \\ Γ \models_m q\\ Γ \models_{CL} q\\ \end{align}\]

כ ל ו מ ר - אני רוצה להאמין שאין סתירות במצבים יומיומים - כמו קניות בסופר. במצבים כאלה, גם אם יכולות להיות סדירות אמיתיות כמו פרדוקס השקרן, אני רוצה להשתמש במודל קטן יותר - לא כל האפשרויות של כל ערכי האמת, אי פעם: אלא בהינתן שאני הולך לקניות בסופר, מהם התרחישים הכי פחות סתירתיים שבהם ההנחות שלי אמיתיות?

התקרבתי קצת ללוגיקה קלאסית, אבל אני עוד לא שם לגמרי:

\[\begin{align} \{ p \land \neg p\} \nvDash_{CL} q \\ \{ p \land \neg p\} \nvDash_m q\\ \end{align}\]

כל העסק הזה הוא ממש מוזר. קודם כל, כי הלוגיקה הזו לא מונוטונית. מה זה אומר?

ראינו ש -

\[ \begin{align} \{ p, \neg p \lor q\} \models_m q \\ \{p \land \neg p, p, \neg p \lor q \} \nvDash_m q \\ \end{align} \]

כלומר - הוספתי הוכחה, ופגעתי בכוח ההיסק.

אפילו קשה יותר, הלוגיקה הזו לא טרנזיטיבית -

\[\begin{align} q \land \neg q \models_m (q \land \neg q) \lor r \\ (q \land \neg q) \lor r \models_m r \\ q \land \neg q \nvDash_m r \end{align}\]

בתמצית, אנחנו הולכים ומתקרבים ללוגיקה קלאסית, ומשלמים מחיר קשה - הכל נהיה ממש מוזר. איך בכלל בונים מערכת הוכחה בלוגיקה כזו? פריסט עצמו לא הצליח.

הוא כן הצליח להוכיח שהלוגיקה הזו ניתנת לאישוש -

• אישוש: לכל קבוצת הנחות Σ:

  אם \(Σ_{LP}\) לא כוללת כל פסוק

  אזי גם \(Σ_m\) לא כוללת כל פסוק

ביקורת

הגם שאפשר להוכיח בלוגיקה הזו שמסתירות לא נובע כל דבר, עדיין אפשר להנביע דברים אמיתיים מדברים, וזו בעיה (Βeall):

\[ (p \land \neg p) \lor r \models_m r \]

נניח והפסוק שלנו \(r\) הוא היום יום ראשון, וזה פשוט שקרי³. אז אם יש לנו משהו כמו פרדוקס השקרן, וגם פסוק שקרי לגמרי, עדיין ניתן להנביע אותו - באופן שגוי - כאמיתי. לא נשמרים ערכי האמת.

בגדול, פריסט משיב שזה בסדר - אנחנו לומדים עוד דברים, וערכי האמת משתנים, ויום וכולי וכולי. כאן מתחיל הדיון העכשווי בלוגיקה - על מהי בכלל אינדוקציה, ואם אנחנו רוצים בכלל לשמר ערכי אמת - זה ה-דבר עכשיו, אבל משום שאיננו אלא זחלצים קולצים, לא ניכנס לזה כאן.

---

1. את העמדה הזו הגה Graham Priest - זו דוגמה קלאסית לאדם (מעניין, מוסיפים רע ואורי) שבוחר עמדה מופרכת לחלוטין, ומגן עליה בעקביות, בלהט ובחירוף נפש, עד שהיא נכנסת לספרות הפילוסופית. ↩

2. \(\therefore\) = לפיכך ↩

3. אנחנו לומדים את הקורס ביום חמישי. ↩