מבוא ללוגיקה - תחשיב הפרדיקטים

מבוא ללוגיקה - תחשיב הפרדיקטים

ספר הקורס, דף נוסחאות

כלי לבדיקת שקילות לוגית - Tree Proof Generator

מצגת

סובייקטים ופרדיקטים

בשפת תחשיב הפרדיקטים, כל פסוק אטומי מורכב מפרדיקט אחת וסובייקט אחד או יותר.

"רחל (סובייקט) ישנה (פרדיקט)" "רחל (סובייקט) מכבדת את (פרדיקט) שאול (אובייקט)" רחל (סובייקט) נמצאת בין (פרדיקט) מוקי (אובייקט ישיר) ל שאול (אובייקט עקיף)

מה זה פרדיקט?

פרדיקט זה ביטוי לא שלם, עם חלל אחד או יותר שעם נמלא אותו בשם עצם יתקבל פסוק. פרדיקט משחק את התפקיד של קשר פונקציית האמת.

פרדיקטים יסומנו באות אנגלית גדולה - בדומה לפסוקים. סובייקטיבים יסומנו באות אנגלית קטנה. פרדיקטים נרשמים ראשונים, ואחריהם הסובייקטים.

דוגמאות: Tr - רחל(r) גבוהה(T)

Tn - נדיה(n) גבוהה (T)

Lns - נדיה(n) גבוהה מ(L) שאול (s)

Lsn - שאול (s) גבוה מ(L) נדיה (n)

Bsnr - שאול (s) נמצא בין (B) נדיה (n) ל(B) רחל (n)

Brsn - שאול (s) נמצא בין (B) רחל (n) ל(B) נדיה (n)

דוגמאות עם קשרים:

Tr~ - רחל לא גבוהה

Lns~ - נדיה לא גבוהה משאול

Tr & Tn - רחל ונדיה גבוהות

~Tr & ~Tn - גם רחל וגם נדיה אינן גבוהות

שחר ותומר נשואים (כל אחד בנפרד)
Ms & Mt
שחר ותומר נשואים (זו לזה)
Rst

כמתים

כל התלמידות שמחות
^
אף תלמיד אינו שמח
^            ^
לפחות תלמיד אחד שמח
^
מעט תלמידות שמחות
^
רב התלמידים שמחים
^

בשפת תחשיב הפרדיקטים יש שני כמתים - כמת כלל (Ɐ) וכמת יישי (Ǝ) (Universal quantifier, Existential quantifier)

יש מישהי שמחה -> יש X כך ש-X שמחה -> ƎxHx
^ כמת יישי

אף אחד אינו שמח -> זה לא נכון שיש x כך ש-x שמח -> ƎxHx~
^ כמת ^ שלילה        ^ שלילה    ^ כמת

לא כולם שמחים -> זה לא נכון שלא משנה מי x x שמח -> ⱯxHx~ 
^ שלילה              ^ שלילה    ^ כמת כולל

ר' גם: ביטויים שווים לוגית (אקויוולנטים) מהמצגת

ציון (ספסיפיקציה) של כמתים

באמרנו כולם שמחים, הכוונה היא לבני אדם - לא לשולחנות, למשל. כיצד מציינים זאת בשפת תחשיב הפרדיקטין

כמתים גנריים: כולם H לא כולם H כולם לא H יש מישהו שהוא H

לעומת כמתים ספציפיים: כל F הוא H לא כל F הוא H כל F הוא לא H יש F שהוא H

דוגמה: יש סטודנטית שמחה -> יש מישהי כך שהיא סטודנטית(S) וגם שהיא שמחה(H) -> Ǝx(Sx & Hx)

שימו לב לסוגריים - אחרת הביטוי הזה לא תקף!

כל הסטודנטים שמחים -> אם אתה סטודנט, אז אתה שמח -> לא משנה מי אתה, אם אתה סוטדנט, אתה שמח -> Ɐx(Sx > Hx) 

[מצגת]

גרירה לעומת קוניוקציה

הקשר שנמצא תחת כמת כולל הוא בדרך כלל גרירה (->). הקשר שנמצא מיד תחת כמת ישי הוא בדרך כלל קוניוקציה (&).

שילוב פרדיקטים

כל סופר ישראלי הוא חכם:
Ɐx([Sx & Ix] > Hx)

יש סופר ישראלי שהוא חכם:
( & Hx [Sx & Ix])Ǝx

פרדיקטים שאינם קומבינציות

ביטויים דוגמת 'פושע לכאורה', 'חיקוי עור', 'ימאי מנוסה', 'לוויתן גדול' ואפילו 'שמפו נגד קשקשים'! - אינם קומבינציה של פרדיקטים - אותו מישהו אינו גם פושע וגם לכאורה - זו תכונה אחת שמבוטאת בשתי מילים בשפה.

פרדיקטים פוליאדים

מצגת

דוגמא:

1. someone respects someone

2. there is someone who respects someone

3. there is some x: x respects someone

4. there is some y: x respects y

1. ƎxƎyRxy

פרדיקטים פוליאדים הם פרדיקטים המתייחסים ליותר מסובייקט אחד - פלוני מכבד את אלמוני, פלוני מתעב את כולם, אף אחד לא מכבד את אף אחד - וכדומה.