מתמטיקה
מאמרים
מתמטיקה היא ענף מוזר. נדמה שהיא מספקת לנו ידע ודאי, בטוח וקבוע. מצד שני, הוא עוסק בישויות שנדמות לנו כמופשטות לחלוטין - ישים, קבוצות. חבורות, פונקציות - שלא ברור אם וכיצד הן קיימות, ואיך נוכל לדעת משהו אודותיהן.
איך מיישבים את זה?
ריאליזם מתמטי¶
ריאליזם מתמטי קובע שהיישים המתמטיים אכן קיימים, וככה דוחה את האתגר המטאפיזי - אם כי בזאת הוא חייב לנו הסבר אודות היישים האלה. יש להם מצבי עניינים? תכונות? וזאת מעבר לבעיה האפיסטמולוגית (אחי, מאיפה לך?, שנשים בצד).
למשל, נגיד שהיש "1" והיש "2" והפונקציה "חיבור" קיימים במצב עניינים כך שחיבור 1 ועוד 1 שווה ל2; זהו מצב עניינים מתמטי.
הטיעון מן המתמטיקה¶
הטיעון מן המתמטיקה מתבסס על משפטים מתמטיים מוכחים ומסקנותיהם האונטולוגיות.
למשל -
משפט: ישנם אינסוף מספרים ראשוניים.
הוכחה:
-
נניח שישנם רק מספר סופי של מספרים ראשוניים: p₁, p₂, p₃, ..., pₙ.
-
נגדיר מספר חדש: P = (p₁ × p₂ × p₃ × ... × pₙ) + 1 כלומר, מכפלת כל המספרים הראשוניים הקיימים ועוד 1.
נתבונן במספר P. הוא חייב להתחלק במספר ראשוני כלשהו (כי כל מספר טבעי גדול מ-1 מתחלק במספר ראשוני כלשהו). אבל אם ננסה לחלק את P בכל אחד מהמספרים הראשוניים שברשימה שלנו (p₁, p₂, וכו'), נקבל תמיד שארית 1; קרי, חייב להיות מספר ראשוני אחר, שאינו ברשימה שלנו, שמחלק את P. זו סתירה להנחה המקורית שלנו שהרשימה כוללת את כל המספרים הראשוניים.
המסקנה: ישנם אינסוף מספרים ראשוניים.
ואם יש אינסוף מספרים ראשוניים, כנראה שיש גם אינסוף מספרים בכלל; ואם יש אינסוף מספרים, נראה שיש מספרים בכלל; ואם יש מספרים, אז ריאליזם מתמטי הוא עמדה נכונה.
במילים אחרות - אם ההוכחה המתמטית הזו נכונה, ואנחנו לוקחים אותה כפשוטה (לא כמשל או כאילו היא מדברת על יישים שונים ממספרים), הרי שהיא מוכיחה את קיומם של מספרים. כשאנחנו מניחים שקביעות מתמטיות הן אמיתיות, ושהן מתייחסות ליישים מתמטיים ממשיים, אנחנו מחויבים לקבל את קיומם של יישים אלה.
להמחשה - נניח שיש 500 מיליון חתולים בעולם.
אם זו טענה אמיתית, היא מחייבת שיש חתולים; אם אין חתולים היא סתירתית. קרי, אם אני מקבל שיש 500 מיליון חתולים, אני מקבל שיש חתולים; אם אני מקבל שיש מספרים ראשונים, אני מקבל שיש מספרים.
טיעון הנחיצות של קווין-פאטנם¶
טיעון הנחיצות מדבר במובלע על מדידה. מדידה של משהו היא התאמה של מספרים ליישים הנמדדים, והיא "טובה" כשיש איזומורפיזם1 בין המספרים ליישים הנמדדים, קרי: אני יכול ללמוד משהו בין הדברים הנמדדים השונים לבין עצמם לבין היחסים בין המספרים הנמדדים.
למשל, קילוגרמים הם פונקציה המתארת מסה של יישים והתאמתם למספר. משהו שמשקלו קילוגרם אחד מקבל את המספר אחד, ומשהו שמשקלו שני קילוגרמים מקבל את המספר שניים; כשם שקילו אחד הוא מחצית משני קילו, כך גם אחד הוא חצי משתיים.
דוגמה נוספת. ניתן למדוד אורכים בסולם מטר - פונקציה שמחזירה כל דבר בעל אורך של מטר \(1\), ולכל דבר בעל אורך של שני מטרים \(2\). היחס בין מטר לשני מטר זהה ליחס בין היישים באורך \(1\) מטר ולבין היישים באורך \(2\) מטר; העובדה הפיזיקלית מתאימה ליחסים בין \(1\) ל\(2\). המדידה היא "טובה" אם היא מתוקפת אמפירית - אם אניח יש של \(2\) מטר, באמת אוכל לכסות אותו בדיוק עם שני יישים של \(1\) מטר, במציאות.
למה זה רלוונטי? קווין ופאטנם אומרים - מדידות הן פונקציות: הקלט שלה היא משהו נמדד, והפלט הוא מספר.
אם המדע מתיימר לאמת אמפירית, והוא עושה זאת באמצעות מדידה, הרי שהוא מתחייב לקיומה של מדידה - והיות שזו נסמכת על מספרים - טווח כל המדידות - הרי שהמדע מתחייב לקיומם של מספרים.
לדוגמה - משוואת כוח הכבידה של ניוטון -
\(F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}\)
מהצד האחד, כוח פיזיקלי (\(F\)). מהצד השני, מספרים. הפיזיקאי הממוצע לא יטען שכוח הכבידה \(F\) הוא הוא "מספר"; הוא כוח פיזיקלי. אבל בכל זאת אנחנו מניחים שהשניים שווים - הקישור חייב להיות פונקציית מדידה, ובכדי לגשר על שני היישים האלה - כוחות ומספרים - היא חייבת להיות אמיתית.
חוק הכבידה של ניוטון קדם-מניח שיש עוצמה של כוחות, מסות ומרחקים, שניתנים למדוד במספרים (ממשיים), ושיש משפטים אמיתיים כמו המספר שמבטא את הכוח הוא \(r1\), וכך הלאה - וכך מתחייב לקיומם של מספרים. יתרה מכך - הוא מניח שאפשר למדוד עוצמות של כוח, מסה וכדומה, ובזאת מניח גם את קיומן של פונקציות מדידה - של מרחק, כוח וכדומה.
(ר' הרחבת פונקציית המדידה בסיכום, 19.2).
קרי - אם אתה מאמין באמיתות המדעיות הטובות ביותר שלנו, הרי שאתה קדם מניח את קיומן של פונקציות מדידה, ומספרים; כל עוד אתה מאמין במדע, אתה מאמין בריאליזם מתמטי.
אבל, יש בעיה.
בעיית הזיהוי של בנאסראף¶
אפילו אם יש ישים מתמטיים, אין לנו מושג איזה ישים הם; אנחנו לא יכולים להגיד עליהם שום דבר. בנאסראף מדגים עם מספרים טבעיים - \(ℕ = \{1,2,3,4,...\}\)
אם אני מקבל את האמיתות הפיזיקליות - אני עדיין לא יודע להגיד שום דבר אודות מספרים טבעיים.
מספרים טבעיים מתוארים באריתמטיקה ("חשבון"), תורה מתמטית עם אקסיומות וכל מה שנובע לוגית מהן.
פון נוימן מספר לנו שמספרים טבעיים הם קבוצות - \(0\) הוא קבוצה ריקה, \(1\) הוא הקבוצה שחבר בה רק חבר אחד ויחיד - הקבוצה הריקה; \(2\) הוא הקבוצה המכילה את הקבוצה הריקה, ואת הקבוצה המכילה את הקבוצה הריקה -
\(0 = ∅, 1 = \{∅\}, 2 = \{ \{∅\}, ∅\}\)
אם נקבל את הצמצום של פון-נוימן, אפשר להוכיח את האקסיומות של האריתמטיקה, וכיוצא בזאת את כל משפטי האריתמטיקה.
זרמלו חושב שזה לא תופס, משום שקבוצה ריקה לא מספיקה - אנחנו חייבים להאמין ב0 כדי שהתיאוריות הפיזיקליות שלנו יעבדו. הוא מציע צמצום משלו -
\(0 = \emptyset, 1 = \{\emptyset\}, 2 = \{\{\emptyset\}\}, 3 = \{\{\{\emptyset\}\}\}, \ldots\)
קרי, ה\(0\) הוא אותו \(0\) - קבוצה ריקה; ה\(1\) הוא אותו \(1\) - הקבוצה שמכילה את הקבוצה הריקה; עד כאן בסדר.
אבל \(2\) - הוא רק הקבוצה שמכילה את המספר הטבעי שבא מיד קודם - קרי, \(2\) הוא לא \(1\) וגם \(0\) - אלא רק 1.
עם השיטה של זרמלו מגיעים לאותן ההוכחות.
אבל עתה מתבקשת השאלה - מי מהן מתארת נכונה מספרים? איך אפשר להבדיל ביניהם?
בנסאראף כותב -
There is no way connected with the reference of number words that will allow us to choose among them, for the accounts differ at places where there is not connection whatever be‐ tween features of the accounts and our uses of the words in questions. .. [Therefore] there is little conclude except that any feature of an account that identifies 3 with a set is a superfluous one ‐ and that therefore 3, and its fellow numbers, could not be sets at all.
שימוש במילות המספר לא אומר לנו בכלל האם זרמלו צודק או פון נוימן צודק, ואין הבדל בין מה שהן מאפשרות. לכן, כמעט שאי אפשר להימנע מלהסיק שמספרים הם לא קבוצות - על מנת שאחת מהן תהיה אמיתית והשנייה שקרית, חייבת להיות עובדה מטאפיזית כזו או אחרת שתוכיח או תפיל אותה; היות ואנחנו לא יכולים להצביע על עובדה כזו, אין לנו אלא להסיק ששתיהן שקריות.
מספרים אפוא הם לא קבוצות. ואז מה הם?
התשובה של בנאסארף לא ממש ברורה; היא הקריצה תחום חדש שלם במתמטיקה - Structuralism:
"numbers are not objects at all, because in giving the properties (that is, necessary and sufficient) of numbers you merely characterize an abstract structure - and the distinction lies in the fact that the "elements" of the structure have no properties other than those relating them to other "elements" of the same structure. If we identify an abstract structure with a system of relations ..., we get arithmetic elaborating the properties of the "less-than" relation, or of all systems of objects (that is, concrete structures) exhibiting that abstract structure. That a system of objects exhibits the structure of the integers implies that the elements of that system have some properties not dependent on structure. It must be possible to individuate those objects independently of the role they play in that structure. But this is precisely what cannot be done with the numbers. To be the number 3 is no more and no less than to be preceded by 2, 1, and possibly 0, and to be followed by 4, 5, and so forth. And to be the number 4 is no more and no less than to be preceded by 3, 2, 1, and possibly 0, and to be followed by.... Any object can play the role of 3; that is, any object can be the third element in some progression. What is peculiar to 3 is that it defines that role - not by being a paradigm of any object which plays it, but by representing the relation that any third member of a progression bears to the rest of the progression. Arithmetic is therefore the science that elaborates the abstract structure that all progressions have in common merely in virtue of being progressions. It is not a science concerned with particular objects - the numbers. The search for which independently identifiable particular objects the numbers really are (sets? Julius Caesars?) is a misguided one."
קרי, מספרים הם לא יישים; הם רכיבים מופשטים, שעומדים ביחס מסוים במבנה מופשט. חשבון נהפך למערכת יישים שמייצגת באופן מופשט מערכות ממשיות.
למשל, להגיד שאוסף כל הטמפרטורת האפשריות מדגים את המבנה של השלמים, זה להגיד שיש לכל טמפרטורות יש מאפיינים שונים, מחוץ ליחס בין הטמפרטורות עצמן (למשל, 100 מעלות גדול יותר מ50 מעלות, אבל היא גם טמפרטורת רתיחת המים). לכן הגיוני להגיד שאוסף כל הטמפרטורות מדגים את המבנה המתמטי.
אבל, כשעוברים לתחום המופשט, אין למספרים כל תכונות מעבר ליחסים ביניהם: להיות 3 אינו דבר מעל ומעבר ללהיות גדול מ2, וקטן מ4, וכו'. כל יש יכול לשחק את התפקיד הזה - השלישי - הדבר היחיד שייחודי לו הוא הגדרת התפקיד הזה.
-
שווין צורני - ἴσος (שווה) + μορφή (צורה). ↩